Questão 88 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: ERRADO.

O item afirma que X(n) (a maior estatística de ordem) é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para (\theta), que ele é viesado e não é consistente. Vamos analisar cada parte:

1. EMV para (\theta): Para uma distribuição uniforme (U[0, \theta]), o estimador de máxima verossimilhança para (\theta) é, de fato, (X_{(n)}), a maior observação da amostra. Isso ocorre porque a função de verossimilhança é maximizada quando (\theta) é o menor valor possível que ainda cobre todas as observações, ou seja, (\theta \ge X_{(n)}).

2. Viesamento: O estimador (X_{(n)}) para (\theta) é viesado. O valor esperado de (X_{(n)}) para uma distribuição uniforme (U[0, \theta]) é (E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta). Como (E[X_{(n)}] \ne \theta), o estimador é viesado. Para ser não viesado, precisaríamos de (\frac{n+1}{n}X_{(n)}).

3. Consistência: Um estimador é consistente se ele converge em probabilidade para o parâmetro verdadeiro à medida que o tamanho da amostra (n) tende ao infinito. Para (X_{(n)}), à medida que (n \to \infty), (X_{(n)}) converge para (\theta). Isso pode ser demonstrado pela função de distribuição acumulada de (X_{(n)}), que é (F_{X_{(n)}}(x) = (F_X(x))^n = (x/\theta)^n) para (0 \le x \le \theta). Quando (n \to \infty), (F_{X_{(n)}}(x)) tende a 0 para (x < \theta) e a 1 para (x = \theta), o que significa que (X_{(n)}) converge em probabilidade para (\theta). Portanto, (X_{(n)}) é um estimador consistente.

O item está ERRADO porque afirma que o estimador não é consistente, quando na verdade ele é consistente.

Dica: Lembre-se que um estimador viesado pode ser consistente. Viesamento e consistência são propriedades distintas.